Азиатско-Тихоокеанская математическая олимпиада, 2011 год

Задача №1.  Пусть $a,b,c$ — целые положительные числа. Докажите, что числа $a^2 + b + c$, $b^2 + c + a$, $c^2 + a + b$ не могут быть одновременно квадратами целых чисел.
комментарий/решение(11)

---

Задача №2.  Пять точек $A_1, A_2, A_3, A_4, A_5$ расположены на плоскости так, что никакие три точки не лежат на одной прямой. Определите наибольшее возможное значение наименьшего из углов $\angle A_i A_j A_k$, где $i,j,k$ — различные индексы из $\{1,2,3,4,5\}$.
комментарий/решение(1)

---

Задача №3.  Пусть $ABC$ — остроугольный треугольник с $\angle BAC = 30^{\circ}$. Биссектрисы внутреннего и внешнего угла при вершине $B$ пересекают прямую $AC$ соответственно в точках $B_1$ и $B_2$, биссектрисы внутреннего и внешнего угла при вершине $C$ пересекают прямую $AB$ соответственно в точках $C_1$ и $C_2$. Предположим, что окружности с диаметрами $B_1B_2$ и $C_1C_2$ пересекаются в точке $P$, находящейся внутри треугольника $ABC$. Докажите, что $\angle BPC = 90^{\circ}$.
комментарий/решение(1)

---

Задача №4.  Пусть $n$ — фиксированное положительное нечетное число. Рассмотрим $m+2$ различные точки $P_0, P_1, \dots, P_{m+1}$ на координатной плоскости, которые удовлетворяют следующим трем условиям (здесь $m$ — неотрицательное целое число):
(1) $P_0 = (0,1)$, $P_{m+1} = (n+1, n)$, и для каждого $1 \le i \le m$, обе $x-$ и $y-$ координаты точки $P_i$ — целые числа, лежащие в интервале $[1,n]$.
(2) Для каждого $0 \le i \le m$ прямая $P_{i}P_{i+1}$ параллельна оси $Ox$ при четном $i$, и параллельна оси $Oy$ при нечетном $i$.
(3) Для каждой пары $0 \le i < j \le m$ отрезки $P_{i}P_{i+1}$ и $P_{j}P_{j+1}$ имеют не более одной общей точки.
Определите наибольшее возможное значение, которое может принимать число $m$.
комментарий/решение(1)

---

Задача №5.  Определите все функции $f: \mathbf{R} \to \mathbf{R}$, где $\mathbf{R}$ — множество всех действительных чисел, удовлетворяющие следующим двум условиям:
(1) Существует действительное число $M$ такое, что $f(x) < M$ для любого действительного числа $x$.
(2) Для любых действительных чисел $x,y$ выполнено равенство $$ f(xf(y)) + y f(x) = xf(y) + f(xy). $$
комментарий/решение(1)

---