Азиатско-Тихоокеанская математическая олимпиада, 2011 год

Задача №1. Пусть

$a,b,c$ — целые положительные числа. Докажите, что числа

$a^2 + b + c$ ,

$b^2 + c + a$ ,

$c^2 + a + b$ не могут быть одновременно квадратами целых чисел.
комментарий/решение(11)

Задача №2. Пять точек

$A_1, A_2, A_3, A_4, A_5$ расположены на плоскости так, что никакие три точки не лежат на одной прямой. Определите наибольшее возможное значение наименьшего из углов

$\angle A_i A_j A_k$ , где

$i,j,k$ — различные индексы из

$\{1,2,3,4,5\}$ .
комментарий/решение(1)

Задача №3. Пусть

$ABC$ — остроугольный треугольник с

$\angle BAC = 30^{\circ}$ . Биссектрисы внутреннего и внешнего угла при вершине

$B$ пересекают прямую

$AC$ соответственно в точках

$B_1$ и

$B_2$ , биссектрисы внутреннего и внешнего угла при вершине

$C$ пересекают прямую

$AB$ соответственно в точках

$C_1$ и

$C_2$ . Предположим, что окружности с диаметрами

$B_1B_2$ и

$C_1C_2$ пересекаются в точке

$P$ , находящейся внутри треугольника

$ABC$ . Докажите, что

$\angle BPC = 90^{\circ}$ .
комментарий/решение(1)

Задача №4. Пусть

$n$ — фиксированное положительное нечетное число. Рассмотрим

$m+2$ различные точки

$P_0, P_1, \dots, P_{m+1}$ на координатной плоскости, которые удовлетворяют следующим трем условиям (здесь

$m$ — неотрицательное целое число):
(1)

$P_0 = (0,1)$ ,

$P_{m+1} = (n+1, n)$ , и для каждого

$1 \le i \le m$ , обе

$x-$ и

$y-$ координаты точки

$P_i$ — целые числа, лежащие в интервале

$[1,n]$ .
(2) Для каждого

$0 \le i \le m$ прямая

$P_{i}P_{i+1}$ параллельна оси

$Ox$ при четном

$i$ , и параллельна оси

$Oy$ при нечетном

$i$ .
(3) Для каждой пары

$0 \le i < j \le m$ отрезки

$P_{i}P_{i+1}$ и

$P_{j}P_{j+1}$ имеют не более одной общей точки.
Определите наибольшее возможное значение, которое может принимать число

$m$ .
комментарий/решение(1)

Задача №5. Определите все функции

$f: \mathbf{R} \to \mathbf{R}$ , где

$\mathbf{R}$ — множество всех действительных чисел, удовлетворяющие следующим двум условиям:
(1) Существует действительное число

$M$ такое, что

$f(x) < M$ для любого действительного числа

$x$ .
(2) Для любых действительных чисел

$x,y$ выполнено равенство

$f(xf(y)) + y f(x) = xf(y) + f(xy).$
комментарий/решение(1)

результаты