Азиатско-Тихоокеанская математическая олимпиада, 2011 год
Задача №1. Пусть $a,b,c$ — целые положительные числа. Докажите, что
числа $a^2 + b + c$, $b^2 + c + a$, $c^2 + a + b$ не могут
быть одновременно квадратами целых чисел.
комментарий/решение(11)
комментарий/решение(11)
Задача №2. Пять точек $A_1, A_2, A_3, A_4, A_5$ расположены на плоскости так,
что никакие три точки не лежат на одной прямой. Определите наибольшее
возможное значение наименьшего из углов $\angle A_i A_j A_k$, где
$i,j,k$ — различные индексы из $\{1,2,3,4,5\}$.
комментарий/решение(1)
комментарий/решение(1)
Задача №3. Пусть $ABC$ — остроугольный треугольник с $\angle BAC = 30^{\circ}$.
Биссектрисы внутреннего и внешнего угла при вершине $B$ пересекают прямую
$AC$ соответственно в точках $B_1$ и $B_2$,
биссектрисы внутреннего и внешнего угла при вершине $C$ пересекают прямую
$AB$ соответственно в точках $C_1$ и $C_2$.
Предположим, что окружности с диаметрами $B_1B_2$ и $C_1C_2$ пересекаются
в точке $P$, находящейся внутри треугольника $ABC$.
Докажите, что $\angle BPC = 90^{\circ}$.
комментарий/решение
комментарий/решение
Задача №4. Пусть $n$ — фиксированное положительное нечетное число. Рассмотрим
$m+2$ различные точки $P_0, P_1, \dots, P_{m+1}$ на координатной плоскости,
которые удовлетворяют следующим трем условиям (здесь $m$ — неотрицательное целое число):
(1) $P_0 = (0,1)$, $P_{m+1} = (n+1, n)$, и для каждого $1 \le i \le m$,
обе $x-$ и $y-$ координаты точки $P_i$ — целые числа, лежащие в интервале $[1,n]$.
(2) Для каждого $0 \le i \le m$ прямая $P_{i}P_{i+1}$ параллельна оси $Ox$ при четном $i$,
и параллельна оси $Oy$ при нечетном $i$.
(3) Для каждой пары $0 \le i < j \le m$ отрезки $P_{i}P_{i+1}$ и $P_{j}P_{j+1}$ имеют
не более одной общей точки.
Определите наибольшее возможное значение, которое может принимать число $m$.
комментарий/решение(1)
комментарий/решение(1)
Задача №5. Определите все функции $f: \mathbf{R} \to \mathbf{R}$, где $\mathbf{R}$ — множество
всех действительных чисел, удовлетворяющие следующим двум условиям:
(1) Существует действительное число $M$ такое, что $f(x) < M$ для любого действительного числа
$x$.
(2) Для любых действительных чисел $x,y$ выполнено равенство
$$
f(xf(y)) + y f(x) = xf(y) + f(xy).
$$
комментарий/решение(1)
комментарий/решение(1)