Азия-тынық мұхит математикалық олимпиадасы, 2011 жыл

Есеп №1.

$a,b,c$ бүтін оң сандар болсын.

$a^2 + b + c$ ,

$b^2 + c + a$ ,

$c^2 + a + b$ санадарының бәрі бір мезгілде бүтін сандардың квадраттары бола алмайтынын дәлелдеңдер.
комментарий/решение(11)

Есеп №2. Жазықтықтан алынған

$A_1, A_2, A_3, A_4, A_5$ нүктелерінің ешбір үшеуі бір түзудің бойында жатпайды.

$\{1,2,3,4,5\}$ жиынының әртүрлі

$i,j,k$ индекстерімен алынған ең кіші

$\angle A_i A_j A_k$ бұрышының ең үлкен мүмкін мәнін анықтаңдар.
комментарий/решение(1)

Есеп №3.

$ABC$ сүйірбұрышты үшбұрышында

$\angle BAC = 30^{\circ}$ .

$B$ төбесінің ішкі және сыртқы бұрыштарының биссектрисалары

$AC$ түзуін сәйкесінше

$B_1$ және

$B_2$ нүктелерінде, ал

$C$ төбесінің ішкі және сыртқы бұрыштарының биссектрисалары

$AB$ түзуін сәйкесінше

$C_1$ және

$C_2$ нүктелерінде қиып өтеді. Диаметрі

$B_1B_2$ және

$C_1C_2$ болатын шеңберлер

$ABC$ үшбұрышының ішінде жататын

$P$ нүктесінде қиылыссын дейік.

$\angle BPC = 90^{\circ}$ болатынын дәлелдеңдер.
комментарий/решение(1)

Есеп №4.

$n$ бекітілген оң, тақ бүтін сан болсын. Координаттар жазықтығынан алынған әртүрлі

$m+2$ нүкте (мұндағы

$m$ -- теріс емес, бүтін сан) —

$P_0, P_1, \dots, P_{m+1}$ — төмендегі үш шартты қанағаттандырады:
(1)

$P_0 = (0,1)$ ,

$P_{m+1} = (n+1, n)$ және әрбір

$1 \le i \le m$ үшін

$P_i$ нүктесінің

$x-$ пен

$y-$ координаттарының екеуі де

$[1,n]$ интервалында жатқан бүтін сандар болады.
(2) Әрбір

$0 \le i \le m$ үшін

$P_{i}P_{i+1}$ түзуі, егер

$i$ жұп болса,

$Ox$ өсіне параллель, ал, егер

$i$ тақ болса,

$Oy$ өсіне параллель болады.
(3) Әрбір

$0 \le i < j \le m$ пары үшін

$P_{i}P_{i+1}$ и

$P_{j}P_{j+1}$ кесінділерінің, ең көп дегенде, бір ғана ортақ нүктесі табылады.

$m$ санының ең үлкен мүмкін мәнін анықтаңдар.
комментарий/решение(1)

Есеп №5. Төмендегі екі шартты қанағаттандыратын барлық

$f: \mathbb{R} \to \mathbb{R}$ функцияларын анықтаңдар (мұнда

$\mathbb{R}$ арқылы нақты сандар жиыны белгіленген):
(1) Кез келген нақты

$x$ үшін

$f(x) < M$ болатын нақты

$M$ саны табылады.
(2) Кез келген нақты

$x,y$ үшін

$f(xf(y)) + y f(x) = xf(y) + f(xy)$ теңдігі орындалады.
комментарий/решение(1)

результаты