Азиатско-Тихоокеанская математическая олимпиада, 2011 год

Пусть $a,b,c$ — целые положительные числа. Докажите, что числа $a^2 + b + c$, $b^2 + c + a$, $c^2 + a + b$ не могут быть одновременно квадратами целых чисел.

Комментарий/решение

$a\ge b\ge c$ деп алсақ, жалпылыққа әсер етпейді. $a^2<a^2+b+c\le a^2+2a<(a+1)^2$.

Тізбектес екі бүтін санның квадраттарының арасында басқа бүтін санның квадраты болмайды.

$a^2+b+c\geq (a+1)^2 \Rightarrow b+c\geq 2a+1$ аналогично делаем с другими тогда получается неравенство

$2(a+b+c)\geq 2(a+b+c)+3$ что означае невозможно

Допустим можно:

$a^2+b+c=k^2$

$b^2+a+c=l^2$

$c^2+a+b=m^2$

$k \geq a+1, l \geq b+1, m \geq c+1$

$a^2+b^2+c^2+3+2(a+b+c)=k^2+l^2+m^2+3 \geq (a+1)^2+(b+1)^2+(c+1)^2+3$

$(a+1)^2+(b+1)^2+(c+1)^2=k^2+l^2+m^2+3 \geq (a+1)^2+(b+1)^2+(c+1)^2+3 \rightarrow \varnothing$

Ч.Т.Д.

хорошая решения

0 не входит в целые положительные или я ошибаюсь?

Допустим,что $a \geq b\geq c$

$a^2+b+c \geq (a+1)^2$

$b^2+a+c \geq (b+1)^2$

$c^2+a+b \geq (c+1)^2$

Значит,$b+c \geq 2a+1$

$a+c \geq 2b+1$

$a+b \geq 2c+1$,но из этого следует что $2a+2b+2c \geq 2a+2b+2c+3$,что является противоречием.

Уважаемый Абдулах но решение AlikhanSerik чуть выше вашего точно такое же как у вас написаное ранее прошу заметить.

Уважаемый, Бекжан но многие ваши решения 1 в 1 как предыдущие. Так что я не думаю что стоит к этому прикапыватся

Прошу прощения.Просто сказал в форте по дружески.

Пусть $a>=b>=c$. Тогда $a^2+2a+1>a^2+b+c>a^2$, тогда корень этого числа должен быть целым и в промежутке $a<x<a+1$. Противоречие