Азия-тынық мұхит математикалық олимпиадасы, 2012 жыл
Комментарий/решение:
Ответ:(n,p)=(2,2),(4,2),(q,q),∀q∈P>2
Если p=2, то n2≥2n⟹n=2,3,4, но только n=3 не подходит.
Далее p≥3. Тогда 2∣pn+1∣np+1, откуда 2∤.
Если n=1, то p+1\mid 2, что невозможно. Далее n\ge 3.
Из условия получаем, что n^p\ge p^n, откуда n\le p.
Случай n=p подходит под условие задачи, далее n< p.
Заметим, что p+1\mid p^n+1 \implies p+1\mid n^p+1\mid n^{2p}-1\quad (\color{red}1)
Пусть p+1=2^ap_1^{a_1}...p_s^{a_s},\quad p_i\in\mathbb P; a,a_i\in\mathbb N, \forall 1\le i\le s
Легко понять, что (p,p_i)=(p,p_i-1)=(p,2)=1\quad (\mathrm i)
так как p>p_i,\forall 1\le i\le s
По теореме Эйлера: p+1\mid n^{φ(p+1)}-1=n^{2^{a-1}p_1^{a_1-1}... p_s^{a_s-1}(p_1-1)...(p_s-1)}-1\quad(\color{red}2)
Пусть d - наименьшее число такое, что p+1\mid n^d-1
Тогда из (\color{red}1) и (\color{red}2)\implies d\mid 2p и d\mid φ(p+1)
Из (\mathrm i) следует, что (φ(p+1),p)=1, откуда d\mid 2\implies p+1\mid n^2-1=(n-1)(n+1)
Пусть (p+1,n-1)=k, тогда из (\color{red}1) получаем, что k\mid n^p+1\equiv 1^p+1=2\pmod k\implies k\mid 2
Откуда p+1\mid 2(n+1)<2(p+1),
значит p+1=2(n+1)\implies 2n+1=p
Отметим, следующее
v_2(n+1)=v_2(n^p+1)\ge v_2(p^n+1)=v_2(p+1)=v_2(2(n+1))=
=1+v_2(n+1)\implies 0\ge 1, что невозможно.
Докажем подробнее то что если p \geq m то n^p \geq p^n для n,p \geq 3. Зафиксируем n и докажем индукцией что для каждого натурального числа p \geq n это верно. База очевидна. Пуская для какого то p верно n^p \geq p^n. Теперь:
(p+1)^n=p^n(1+\frac{1}{p})^n<p^n(1+\frac{1}{n})^n<p^n*3<p^{n+1}
(1+\frac{1}{n})^n<3 это верно тк (1+\frac{1}{n})^n всегда меньше числа эйлера e=2,718…
Для p=2 сделан разбор сверху, теперь скажем что это число нечетное и простое, тогда и n нечётно. n^p\geq p^n Возьмём оба выражения под корень силы pn \rightarrow n^{1/n}\geq p^{1/p}, кстати функция x^{1/x} убывающая так что p\geq n.
p+1 |p^n+1 |n^p+1(p^n+1=(p+1)(…)) (p-odd).
n^p \equiv -1 (mod p+1) \rightarrow n^{2p} \equiv 1(p+1) Значит показатель равен 2 или 2p. Второй вариант невозможен ибо 2p > p+1> функция эйлера от p+1. Значит n^q \equiv -1(p+1) (где q нечётно), p+1|n+1 и n \geq p.
Ответы: \boxed{n=p; n=4,p=2; p=2, n=2!}
Докажем что a^b>b^a при b>a\geq 3
Для этого достаточно показать что n^{n+1} \geq (n+1)^n, то есть n^n*(n-1) \geq \sum n^{n-i}*C_{n}^{i}, применим факт что C_{n}^{i} \leq n^i для i=1,2,...,n-2. Осталось доказать что n^n> n+1 что правда при n\geq 3.
Возможно, что при неправильном наборе формул, они будут
доредактированы модератором. При этом содержание не будет меняться.