12-ші «Жібек жолы» математикалық олимпиадасы, 2012 жыл

Кез келген оң бүтін n үшін $\sqrt[1]{1},\sqrt[2]{2},\sqrt[3]{3},\ldots ,\sqrt[n]{n}$ сандарының арифметикалық ортасы $\left[ 1,1+\frac{2\sqrt{2}}{\sqrt{n}} \right]$ аралығында жататынын дәлелдеңдер. ( А. Васильев )

Комментарий/решение

Можно даже доказать, что для любого целого положительного $n$ среднее арифметическое чисел $\sqrt[1]{1},\sqrt[2]{2}, \sqrt[3]{3}, ...,\sqrt[n]{n}$ лежит на отрезке $[1, 1+\frac{2}{\sqrt{n}}]$