12-ші «Жібек жолы» математикалық олимпиадасы, 2012 жыл

Шеңберге іштей сызылған $ABCD$ трапециясында $BC \parallel AD$. Осы шеңбердің ($C$ нүктесі жатпайтын) $AD$ доғасының ортасын $E$ деп белгілейік. $E$ нүктесінен шеңбердің $C$ нүктесі арқылы өтетін жанамасына түсірілген перпендикулярдың табанын $F$ деп белгілейік. $BC=2CF$ теңдігін дәлелдеңдер. ( А. Васильев )

Комментарий/решение

Из условия следует что трапеция равнобедренная , пусть $N$ - середина $BC$ , тогда $EN \perp BC$, так как $E$ - середина дуги $AD$, получим $\angle ACE = \angle ECD $ , учитывая что $\angle DCF = \angle CAD = \angle ACB$ , Следует что треугольники $BCN$ И $ECF$ равны по двум углам и общей стороне $CE$ , значит $BN = CF $ откуда $BC=2CF$.