2-ші «Жібек жолы» математикалық олимпиадасы, 2002 жыл

В треугольнике $ABC$ точка $I$ — центр вписанной окружности. Пусть $P$ — точка пересечения биссектрисы угла $A$ с описанной окружностью $(P \ne A)$, $D$ — точка касания вписанной окружности со стороной $BC$, а $Q$ — точка пересечения прямой $PD$ с описанной окружностью ($Q \ne P$). Докажите, что $PI=QI$, если отрезок $PD$ равен радиусу вписанной окружности.

Комментарий/решение

Так как $PI = PC$, нам достаточно доказать, что $PI^2 = PC^2 = PD \cdot PQ$. Так как $\angle DQC = \angle PBC = \angle PCB$, $PC$ касательная к описанной окружности $CDQ$. Значит, $PC^2 = PD \cdot PQ$ что и требовалось доказать.