I математическая олимпиада «Шелковый путь», 2002 год

Задача №1. В треугольнике

$ABC$ точка

$I$ — центр вписанной окружности. Пусть

$P$ — точка пересечения биссектрисы угла

$A$ с описанной окружностью

$(P \ne A)$ ,

$D$ — точка касания вписанной окружности со стороной

$BC$ , а

$Q$ — точка пересечения прямой

$PD$ с описанной окружностью (

$Q \ne P$ ). Докажите, что

$PI=QI$ , если отрезок

$PD$ равен радиусу вписанной окружности.
комментарий/решение(1)

Задача №2. Пусть

$n$ натуральное число

$n > 2$ и

$a_1,a_2,\dots,a_n \in \mathbb{R}^+$ — положительные действительные числа. Даны произвольные натуральные числа

$t$ ,

$k$ ,

$p$ , причем

$1 < t < n$ , положим также

$m=k+p$ . Докажите следующие неравенства:

$1) \quad \frac{{a_1^p}}{{a_2^k + a_3^k + \cdots + a_t^k}} + \frac{{a_2^p}}{{a_3^k + a_4^k + \cdots + a_{t + 1}^k}} + \cdots + \frac{{a_{n - 1}^p}}{{a_n^k + a_1^k + \cdots + a_{t - 2}^k}} + \frac{{a_n^p}}{{a_1^k + a_2^k + \cdots + a_{t - 1}^k}} \ge \frac{{{{(a_1^p + a_2^p + \cdots + a_n^p)}^2}}}{{(t - 1)(a_1^m + a_2^m + \cdots + a_n^m)}}$

$2) \quad \frac{{a_2^k + a_3^k + \cdots + a_t^k}}{{a_1^p}} + \frac{{a_3^k + a_4^k \cdots + a_{t + 1}^k}}{{a_2^p}} + \cdots + \frac{{a_n^k + a_1^k + \cdots + a_{t - 2}^k}}{{a_{n - 1}^p}} + \frac{{a_1^k + a_2^k + \cdots + a_{t - 1}^k}}{{a_n^p}} \ge \frac{{(t - 1){{(a_1^k + a_2^k + \cdots + a_n^k)}^2}}}{{a_1^m + a_2^m + \cdots + a_n^m}}$
комментарий/решение(1)

Задача №3. В каждой единичной клетке некоторого конечного множества клеток бесконечной клетчатой доски записано целое число так, что сумма чисел в каждой строке, так же как и в каждом столбце, делится на

$2002$ . Докажите, что каждое число

$a$ можно заменить на некоторое число

$a'$ , делящееся на

$2002$ так, что

$|a - a'| < 2002$ и суммы чисел во всех строках, и во всех столбцах не изменятся.
комментарий/решение

Задача №4. Рассмотрим дробь

$1/7=0.{\dot 1}4285{\dot 7}$ , которая является чисто периодической десятичной дробью с периодом

$6=7-1$ , и в одном периоде имеем

$142+857=999$ . Для

$n=1,2,\dots$ , определите необходимое и достаточное условие, чтобы дробь

$1/(2n+1)$ обладала теми же свойствами, что и первая дробь и найдите две такие дроби, отличные от

$1/7$ .
комментарий/решение