Processing math: 50%

Районная олимпиада, 2009-2010 учебный год, 8 класс


Если число 2m+3n делится на 5, то докажите, что число 2n+3m также делится на 5.
посмотреть в олимпиаде

Комментарий/решение:

  1 | проверено модератором
8 года 6 месяца назад #

Рассмотрим остатки степеней при делении на 5.

2^n \equiv \left\{\begin{array}{rl} 2, & n=4k+1; \\ 4, & n=4k+2; \\3, & n=4k+3;\\1, & n=4k+4. \end{array} \right \} \pmod{5}

3^n \equiv \left\{\begin{array}{rl} 3, & n=4k+1; \\ 4, & n=4k+2; \\2, & n=4k+3;\\1, & n=4k+4. \end{array} \right \} \pmod{5}

Откуда видно, что при замене показателей степеней сумма остатков не изменится.