Математикадан аудандық олимпиада, 2009-2010 оқу жылы, 8 сынып

Егер $2^m+3^n$ саны 5-ке қалдықсыз бөлінсе, онда $2^n+3^m$ саны да 5-ке қалдықсыз бөлінетінін дәлелдеңіздер.

Комментарий/решение

Рассмотрим остатки степеней при делении на 5.

$2^n \equiv \left\{\begin{array}{rl} 2, & n=4k+1; \\ 4, & n=4k+2; \\3, & n=4k+3;\\1, & n=4k+4. \end{array} \right \} \pmod{5}$

$3^n \equiv \left\{\begin{array}{rl} 3, & n=4k+1; \\ 4, & n=4k+2; \\2, & n=4k+3;\\1, & n=4k+4. \end{array} \right \} \pmod{5}$

Откуда видно, что при замене показателей степеней сумма остатков не изменится.