Леонард Эйлер атындағы олимпиада,2011-2012 оқу жылы, қорытынды кезеңнің 2-ші туры

$ABC$ үшбұрышының бұрыштары үшін $2 \angle A+ \angle B=\angle C$ теңдігі орындалады. Осы үшбұрыштың ішінде $A$ бұрышының биссектрисасынан $BK=BC$ болатындай $K$ нүткесі алынған. $\angle KBC=2 \angle KBA$ екенін дәлелдеңдер. ( С. Берлов )

Комментарий/решение

Комментарии от администратора Комментарии от администратора №1.     Решение 1. Поскольку $\angle C > \angle A+\angle B$, то $\angle C > 90 ^\circ$. Выберем на луче $AC$ точку $T$ таким образом, что $BC = BT$. Заметим, что $\angle ATB = \angle BCT = \angle A+\angle B$. Поскольку $2\angle A+\angle B = \angle C$, имеем $3\angle A+2\angle B = \angle A+\angle B+\angle C = 180^\circ$, откуда $\angle CBT = \angle A \Rightarrow \angle ABT = \angle A+\angle B = \angle ATB$. Значит, точка $K$ лежит на оси симметрии равнобедренного треугольника $BAT$, откуда $BK = KT$. Итак, $BT = BC = BK = KT$, то есть треугольник $BKT$ — равносторонний, откуда $\angle KBC = 60^\circ - \angle CBT = 60^\circ - \angle A$, а $\angle ABK = 30^\circ - \angle BAK = 30^\circ -A/2 = \angle KBC/2$.

Комментарии от администратора Комментарии от администратора №2.     Решение 2. Выберем точку $L$ на биссектрисе угла $A$ внутри треугольника таким образом, чтобы выполнялось условие $\angle LBC = 2\angle LBA$. Чтобы доказать, что точки $L$ и $K$ совпадут, достаточно доказать, что $BL = BC$. Пусть биссектриса угла $CBL$ пересекает $AC$ в точке $N$. Тогда $\angle BNC = \angle A+2\angle B/3 = \angle A/3+\angle B/3+(\angle B/3+2\angle A/3) = (\angle A+\angle B+\angle C)/3 = 60^\circ$. Заметим, что $L$ — точка пересечения биссектрис треугольника $ABN$. Значит, $\angle LNB = 60^\circ$, и треугольники $BCN$ и $BLN$ равны по стороне $BN$ и двум прилежащим к ней углам, откуда и следует равенство $BL = BC$.