Леонард Эйлер атындағы олимпиада,2012-2013 оқу жылы, қорытынды кезеңнің 1-ші туры

Дөңес $ABCD$ төртбұрышының диагональдары тең және $O$ нүктесінде қиылысады. $AOD$ бұрышының ішінен $CD \parallel BP$ және $AB \parallel CP$ болатындай $P$ нүктесі алынған. $P$ нүктесі $AOD$ бұрышының биссектриссасында жатқанын дәлелдеңдер. ( С. Берлов )

Комментарий/решение

Комментарии от администратора Комментарии от администратора №1.     Решение. Поскольку $AB \parallel CP$, площади треугольников $APC$ и $BPC$ равны. Поскольку $CD \parallel BP$, площади треугольников $BPC$ и $BPD$ равны. Следовательно, площади треугольников $APC$ и $BPD$ равны. Так как $AC = BD$, равны и высоты этих треугольников, опущенные на стороны $AC$ и $BD$ соответственно. Но это означает, что точка $P$, лежащая внутри угла $AOD$, равноудалена от его сторон, и потому лежит на его биссектрисе, что и требовалось доказать.