Loading [MathJax]/jax/output/SVG/jax.js

Леонард Эйлер атындағы олимпиада,
2013-2014 оқу жылы, қорытынды кезеңнің 1-ші туры


C төбесіндегі бұрышы 100 болатын ABC үшбұрышының AB қабырғасынан AP=BC және BQ=AC болатындай P және Q нүктелері алынған. M, N, K нүктелері сәкесінше AB, CP, CQ кесінділерінің орталары болсын. NMK бұрышын анықтаңдар. ( М. Кунгожин, методкомиссия )
посмотреть в олимпиаде

Комментарий/решение:

Комментарии от администратора Комментарии от администратора №1.     Ответ. 40.
Решение. Достроим треугольник до параллелограмма ACBD. Тогда M является серединой отрезка CD. Так как AP=BC=AD и BQ=AC=BD, треугольники APD и BQD — равнобедренные. Поэтому QDP=ADP+BDQADB=(90DAB/2)+(90DBA/2)100=80DAB+DBA)/2=40.
Осталось заметить, что QDP=KMN, так как MK и MN — средние линии треугольников DQC и DPC соответственно.