Леонард Эйлер атындағы олимпиада,
2013-2014 оқу жылы, қорытынды кезеңнің 1-ші туры
C төбесіндегі бұрышы 100∘ болатын ABC үшбұрышының AB қабырғасынан AP=BC және BQ=AC болатындай P және Q нүктелері алынған. M, N, K нүктелері сәкесінше AB, CP, CQ кесінділерінің орталары болсын. NMK бұрышын анықтаңдар.
(
М. Кунгожин,
методкомиссия
)
посмотреть в олимпиаде
Комментарий/решение:
Комментарии от администратора Комментарии от администратора №1. Ответ. 40∘.
Решение. Достроим треугольник до параллелограмма ACBD. Тогда M является серединой отрезка CD. Так как AP=BC=AD и BQ=AC=BD, треугольники APD и BQD — равнобедренные. Поэтому ∠QDP=∠ADP+∠BDQ−∠ADB=(90∘−∠DAB/2)+(90∘−∠DBA/2)−100∘=80∘−∠DAB+∠DBA)/2=40∘.
Осталось заметить, что ∠QDP=∠KMN, так как MK и MN — средние линии треугольников DQC и DPC соответственно.
Возможно, что при неправильном наборе формул, они будут
доредактированы модератором. При этом содержание не будет меняться.