Леонард Эйлер атындағы олимпиада,2013-2014 оқу жылы, қорытынды кезеңнің 2-ші туры

Дөңес 101-бұрыштың диагональін басты деп атаймыз, егер оның бір жағында 50 төбе, ал екінші жағында 49 төбе жатса. Ортақ ұштары жоқ бірнеше басты диагональдар таңдап алынған. Сол диагональдардың ұзындықтарының қосындысы, қалған басты диагональдардың ұзындықтарының қосындысынан кіші екенін дәлелде. ( И. Богданов, С. Берлов )

Комментарий/решение

Комментарии от администратора Комментарии от администратора №1.     Решение. Назовём главной диагональю $ (2n+1) $-угольника $K = A_1A_2 \dots A_{2n+1}$ любой отрезок вида $A_iA_{i+n}$ (нумерация вершин циклическая, так что $A_{i+2n+1} = A_i$). Докажем индукцией по $n$, что сумма длин любого выбранного набора главных диагоналей многоугольника $K$, не имеющих общих вершин, меньше суммы длин оставшихся его главных диагоналей. База при $n = 1$ следует из неравенства треугольника, ибо главными диагоналями треугольника являются его стороны. Пусть теперь $n > 1$. Обозначим сумму длин выбранных главных диагоналей через $s_1$, а невыбранных — через $s_2$. Можно считать, что выбрана диагональ $A_1A_{n+2}$. Тогда диагонали $A_1A_{n+1}$ и $A_2A_{n+2}$ не выбраны и пересекаются в некоторой точке $P$.
Значит, $A_1A_{n+2}+A_2A_{n+1} < A_1P+PA_{n+2}+A_2P+PA_{n+1} = A_1A_{n+1}+A_2A_{n+2} (*)$. Рассмотрим теперь многоугольник $M = A_2 \dots A_{n+1}A_{n+3} \dots A_{2n+1}$. Нетрудно видеть, что его главными диагоналями являются $A_2A_{n+1}$, а также все главные диагонали многоугольника K, не содержащие вершин $A_1$ и $A_{n+2}$ (при переходе от $K$ к $M$ по каждую сторону от такой диагонали исчезает по одной вершине). Выберем из них те же диагонали, что и в $K$, кроме $A_1A_{n+2}$. Применяя к ним предположение индукции, получаем $s_1 -A_1A_{n+2} < s_2-A_1A_{n+1}-A_2A_{n+2}+A_2A_{n+1}$. Прибавляя к полученному неравенство $(*)$, получаем требуемое. Переход доказан.