Леонард Эйлер атындағы олимпиада,2013-2014 оқу жылы, қорытынды кезеңнің 2-ші туры

Біз натурал санды таулы деп атайық, егер оның ондық жазуындағы шетінде тұрмаған қандай-да бір цифра (оны төбе деп атайық) басқа цифрлардан үлкен, ал қалған барлық цифрлар нөлге тең емес және төбеге дейін қатаң емес түрде өспелі (яғни әр келесі цифра алдыңғысынан үлкен немесе оған тең), ал төбеден кейін қатаң емес түрде кемімелі (яғни әр келесі цифра алдыңғысынан кем немесе оған тең) болса.
Мысалға 12243 саны — таулы, ал 3456 және 1312 — таулы емес. Барлық жүзтаңбалы таулы сандардың қосындысы — құрама сан екенін дәлелдеңдер. ( С. Берлов )

Комментарий/решение

Комментарии от администратора Комментарии от администратора №1.     Решение. Назовем два гористых числа дружественными, если каждое из них получается из другого записью его цифр в обратном порядке. Заметим, что цифры, которые у одного из дружественных чисел стоят в четных разрядах, у другого стоят в нечетных разрядах. В частности, два дружественных числа не могут совпадать, так как их вершины находится в разрядах разной четности. Поэтому все гористые числа разбиваются на пары дружественных. Далее, если разность суммы цифр, стоящих в нечетных (с конца) разрядах, и суммы цифр, стоящих в четных разрядах, у одного из двух дружественных чисел равна $a$, то у другого она равна $-a$. Так как эти разности при делении на 11 дают те же остатки, что и сами дружественные числа, сумма двух дружественных чисел делится на 11. Следовательно, на 11 делится и сумма всех гористых чисел. Поскольку она при этом, очевидно, больше 11, она является составным числом.