Loading [MathJax]/jax/output/SVG/jax.js

Леонард Эйлер атындағы олимпиада,
2008-2009 оқу жылы, қорытынды кезеңнің 1-ші туры


ABC үшбұрышында AB мен BC қабырғалары тең. Үшбұрыштың ішінен ADC бұрышы ABC бұрышынан екі есе үлкен болатындай D нүктесі алынған. B нүктесінен ADC бұрышына сыбайлас бұрыштың биссектриссасына дейінгі екі еселенген қашықтық AD+DC-ға тең екенін дәлелде. ( С. Берлов )
посмотреть в олимпиаде

Комментарий/решение:

Комментарии от администратора Комментарии от администратора №1.    
Решение. Пусть l — биссектриса углов, смежных с углом ADC, точка K — проекция B на l, а точки B и C симметричны соответственно точкам A, B и C относительно l. Тогда BB=2BK — как раз удвоенное расстояние от B до l. Кроме того, точка D лежит на отрезке AC (так как прямые DA и DC симметричны относительно l), и AC=AD+DC=AD+DC. Далее, из той же симметрии получаем ACB=DCB=DCB, BBC=BBC. Пусть отрезки BB и AC пересекаются в точке O. Из прямоугольного треугольника OKD получаем BOC=KOD=90ODK=(180CDC)/2=ADC/2=ABC. Значит, ABB=ABCBBC=BOCOBC=OCB. Аналогично, BAO=BOCABO=ABCABO=BBC=BBC. Таким образом, треугольники ABO и BCO равны по стороне и двум прилежащим углам. Отсюда BB=BO+OB=CO+OA=AC=AD+DC, что и требовалось.

  10
1 года 9 месяца назад #

Возьмем точку E как пересечение расстояния от точки B с биссектрисой углов смежных с углом ADC.Удвоим BE и обозначим конец отрезка как B,так что BE=EB.

Продолжим CD и возьмем на ней такую точку A , что AD=AD

Возьмем BBCD=F,BBAD=H

Возьмем ABC=αADC=2α

FDH=1802α,DE - биссектриса FDHFDE=EDH=90α

BE - расстояние BEEDFED=HED=90

ED=ED,FED=HED,FDE=EDHFDE=HDE

FDE=HDEFD=HD,FE=HE,DFH=DHF=18090(90α)=α

DFH=BFA,DHF=AHBDFH=BFA=DHF=AHB=α

BE=EB,EF=EHBEEF=EBEHBF=HB

AD=AD,DF=DHADDF=ADDHAH=AF

BFA=AHB,BF=HB,AH=AFBFA=BHA

BFA=BHAAB=AB

AD=AD,DF=DH,FA=HA, По Теореме Фалеса FHAA

FHAA;B,F,H,B на одной линии BBAA

BBAA;AB=ABBAAB - Равнобокая трапеция

BAAB - Равнобокая трапеция AB=ABAB=AB=BC

BAAB - Равнобокая трапеция AAB=ABB

AAB=ABB,AAC=ABCAACAAB=ABCABBBAC=BBC

BAC=BBCBABC - вписанный

BABC - вписанный ABB=ACB

BAC=BBC;ABB=ACB;AB=BCAFB=BFC

AFB=BFCAF=BF;BF=CF

AF=BF;BF=CFAF+CF=BF+BF

AF+CF=AC;BF+BF=BBAC=BB

AC=AD+DCAD+DC=BB

Ч.Т.Д

  1
1 года 3 месяца назад #

Во первых у вас много опечаток и не нерничайте а то так нервно пишете