Леонард Эйлер атындағы олимпиада,
2008-2009 оқу жылы, қорытынды кезеңнің 1-ші туры
Комментарий/решение:
Комментарии от администратора Комментарии от администратора №1.
Решение. Пусть l — биссектриса углов, смежных с углом ADC, точка K — проекция B на l, а точки B′ и C′ симметричны соответственно точкам A, B и C относительно l. Тогда BB′=2BK — как раз удвоенное расстояние от B до l. Кроме того, точка D лежит на отрезке AC′ (так как прямые DA и DC симметричны относительно l), и AC′=AD+DC′=AD+DC. Далее, из той же симметрии получаем ∠AC′B′=∠DC′B′=∠DCB, ∠BB′C′=∠B′BC. Пусть отрезки BB′ и AC′ пересекаются в точке O. Из прямоугольного треугольника OKD получаем
∠BOC′=∠KOD=90∘−∠ODK=(180∘−∠CDC′)/2=∠ADC/2=∠ABC.
Значит,
∠ABB′=∠ABC−∠B′BC=∠BOC′−∠OB′C=∠OC′B′.
Аналогично,
∠BAO=∠BOC′−∠ABO=∠ABC−∠ABO=∠B′BC=∠BB′C′.
Таким образом, треугольники ABO и B′C′O равны по стороне и двум прилежащим углам. Отсюда BB′=BO+OB′=C′O+OA=AC′=AD+DC, что и требовалось.
Возьмем точку E как пересечение расстояния от точки B с биссектрисой углов смежных с углом ADC.Удвоим BE и обозначим конец отрезка как B′,так что BE=EB′.
Продолжим CD и возьмем на ней такую точку A′ , что A′D=AD
Возьмем BB′∩CD=F,BB′∩AD=H
Возьмем ∠ABC=α⇒∠ADC=2α
∠FDH=180−2α,DE - биссектриса ∠FDH⇒∠FDE=∠EDH=90−α
BE - расстояние ⇒BE⊥ED⇒∠FED=∠HED=90∘
ED=ED,∠FED=∠HED,∠FDE=∠EDH⇒△FDE=△HDE
△FDE=△HDE⇒FD=HD,FE=HE,∠DFH=∠DHF=180−90−(90−α)=α
∠DFH=∠BFA′,∠DHF=∠AHB′⇒∠DFH=∠BFA′=∠DHF=∠AHB′=α
BE=EB′,EF=EH⇒BE−EF=EB′−EH⇒BF=HB′
AD=A′D,DF=DH⇒AD−DF=A′D−DH⇒AH=A′F
∠BFA′=∠AHB′,BF=HB′,AH=A′F⇒△BFA′=△B′HA
△BFA′=△B′HA⇒A′B=AB′
AD=A′D,DF=DH,FA′=HA, По Теореме Фалеса FH∥A′A
FH∥A′A;B,F,H,B′ на одной линии ⇒BB′∥A′A
BB′∥A′A;A′B=AB′⇒B′AA′B - Равнобокая трапеция
B′AA′B - Равнобокая трапеция ⇒AB=A′B′⇒AB=A′B′=BC
B′AA′B - Равнобокая трапеция ⇒∠AA′B′=∠ABB′
∠AA′B′=∠ABB′,∠AA′C=∠ABC⇒∠AA′C−∠AA′B′=∠ABC−∠ABB′⇒∠B′A′C=∠B′BC
∠B′A′C=∠B′BC⇒B′A′BC - вписанный
B′A′BC - вписанный ⇒∠A′B′B=∠A′CB
∠B′A′C=∠B′BC;∠A′B′B=∠A′CB;A′B′=BC⇒△A′FB′=△BFC
△A′FB′=△BFC⇒A′F=BF;B′F=CF
A′F=BF;B′F=CF⇒A′F+CF=BF+B′F
A′F+CF=A′C;BF+B′F=BB′⇒A′C=BB′
A′C=AD+DC⇒AD+DC=BB′
Ч.Т.Д
Возможно, что при неправильном наборе формул, они будут
доредактированы модератором. При этом содержание не будет меняться.