Олимпиада имени Леонарда Эйлера2012-2013 учебный год, II тур регионального этапа

Дан остроугольный треугольник $ABC$. Высота $AA_1$ продолжена за вершину $A$ на отрезок $AA_2 = BC$. Высота $CC_1$ продолжена за вершину $C$ на отрезок $CC_2 = AB$. Найдите углы треугольника $A_2BC_2$. ( Р. Женодаров )

Комментарий/решение

Комментарии от администратора Комментарии от администратора №1.     Ответ. $\angle A_2BC_2 = 90^\circ$, $\angle BA_2C_2 = \angle BC_2A_2 = 45^\circ$.
Решение. Треугольники $ABA_2$ и $CC_2B$ равны по двум сторонам и углу между ними ($AB = CC_2$, $AA_2 = BC$, а углы $BAA_2$ и $BCC_2$ равны как смежные с углами $A_1AB$ и $C_1CB$, равными $90^\circ-\angle ABC$). Поэтому $\angle BA_2A = \angle CBC_2$, откуда $\angle A_2BC_2 = \angle A_2BA+\angle ABC+\angle CBC_2 = \angle ABC+(\angle A_2BA+\angle BA_2A) = \angle ABC+\angle BAA_1 = 90^\circ$. Кроме того, $A_2B = C_2B$, откуда $\angle BA_2C_2 = \angle BC_2A_2 = (180^\circ-\angle A_2BC_2)/2 = 45^\circ$.