Эйлер атындағы олимпиада, 2012-2013 оқу жылы, аймақтық кезеңнің 2 туры
Сүйір бұрышты ABC үшбұрышы берілген. AA1 биіктігі A төбесінен ары қарай AA2=BC кесіндісіне толықтырылған. CC1 биіктігі C төбесінен ары қарай CC2=AB кесіндісіне толықтырылған. A2BC2 үшбұрышының бұрыштарын табыңыз.
(
Р. Женодаров
)
посмотреть в олимпиаде
Комментарий/решение:
Комментарии от администратора Комментарии от администратора №1. Ответ. ∠A2BC2=90∘, ∠BA2C2=∠BC2A2=45∘.
Решение. Треугольники ABA2 и CC2B равны по двум сторонам и углу между ними (AB=CC2, AA2=BC, а углы BAA2 и BCC2 равны как смежные с углами A1AB и C1CB, равными 90∘−∠ABC). Поэтому ∠BA2A=∠CBC2, откуда ∠A2BC2=∠A2BA+∠ABC+∠CBC2=∠ABC+(∠A2BA+∠BA2A)=∠ABC+∠BAA1=90∘. Кроме того, A2B=C2B, откуда ∠BA2C2=∠BC2A2=(180∘−∠A2BC2)/2=45∘.
Замечание. Утверждение задачи остаётся верным и для не остроугольного треугольника ABC.
Возможно, что при неправильном наборе формул, они будут
доредактированы модератором. При этом содержание не будет меняться.