Эйлер атындағы олимпиада, 2012-2013 оқу жылы, аймақтық кезеңнің 1 туры

$(a+b+c+d+e+f) : (1/a+1/b+1/c+1/d+1/e+1/f)=2012$ теңдігі орындалатындай әр түрлі алты $a$, $b$, $c$, $d$, $e$, $f$ натурал сандары табылады ма? ( Б. Трушин )

Комментарий/решение

Комментарии от администратора Комментарии от администратора №1.     Ответ. Да, существуют.
Решение. Положим, например, $a = 1$, $b = 2012$, $c = 2$, $d = 1006$, $e = 4$, $f = 503$; тогда $ab = cd = ef = 2012$. Значит, $1/a+1/b+1/c+1/d+1/e+1/f = (a+b)/ab+(c+d)/cd+(e+f)/ef = (a+b+c+d+e+f)/2012$, откуда и следует требуемое равенство.

Ответ:Да, можно

Домножим обе стороны на знаменатель, получаем:

$a+b+c+d+e+f=2012/a+2012/b+2012/c+2012/d+2012/e+2012/f$

Заметим что все числа разные и должны быть делителем 2012, а у 2012 всего 6 делителей (1, 2012, 2, 1006, 4, 503), откуда и следует требуемое.