Loading [MathJax]/jax/output/SVG/jax.js

Эйлер атындағы олимпиада, 2010-2011 оқу жылы, аймақтық кезеңнің 2 туры


ABC үшбұрышында M және N нүктелері сәйкесінше AC мен AB ның орталары. BM медианасынан, CN-де жатпайтын P нүктесі алынған. PC=2PN екені белгілі. AP=BC екенін дәлелдеңіз. ( С. Берлов )
посмотреть в олимпиаде

Комментарий/решение:

Комментарии от администратора Комментарии от администратора №1.     Решение 1. Отметим точку K такую, что AKBP — параллелограмм. Тогда его диагонали делятся точкой пересечения пополам, то есть пересекаются в точке N и PK=2PN=PC. Пусть прямые MB и CK пересекаются в точке T. Поскольку MTAK и M — середина AC, то MT — средняя линия треугольника AKC, откуда KT=TC. Значит, PT — медиана, проведённая к основанию равнобедренного треугольника KPC, откуда PTCK. Тогда BT — медиана и высота треугольника BKC, значит, BC=BK. Наконец, BK=AP так как AKBP — параллелограмм, откуда AP=BK=BC.

Комментарии от администратора Комментарии от администратора №2.     Решение 2. Обозначим через G точку пересечения медиан треугольника ABC. Тогда CG/GN=2=CP/PN, то есть точка G делит сторону NC треугольника PNC в отношении, равном отношению прилежащих боковых сторон. По признаку биссектрисы получаем CPG=GPN. Следовательно, BPN=BPC. Пусть X — середина PC. Тогда PX=PN, поэтому NPM=XPM по двум сторонам и углу между ними. Отсюда NM=XM. Наконец, отрезки XM и NM являются средними линиями в треугольниках APC и ABC, значит, AP=2XM=2NM=BC.

Комментарии от администратора Комментарии от администратора №3.     Решение 3. Рассмотрим такую точку Q, что P — середина AQ. Тогда BPQC, BQ=2NP=PC, т.е. BQCP — равнобочная трапеция (BQNP не параллельна PC). Ее диагонали BC и PQ равны, а PQ=AP.