Олимпиада имени Леонарда Эйлера2008-2009 учебный год, I тур регионального этапа

По кругу выписаны числа 1, 2, 3, $\dots$, 10 в некотором порядке. Петя вычислил 10 сумм всех троек соседних чисел и написал на доске наименьшее из вычисленных чисел. Какое наибольшее число могло быть написано на доске?

Комментарий/решение

Комментарии от администратора Комментарии от администратора №1.     Ответ. 15.
Решение. Вначале докажем, что выписанное число не больше 15. Выделим число 10, а оставшиеся 9 чисел разобьем на три тройки соседних чисел. Сумма чисел в этих трех тройках равна $1+2+3+\dots+9 = 45$, поэтому хотя бы в одной из рассматриваемых троек сумма чисел не больше, чем $45:3 = 15$. Пример расстановки чисел, при котором число, выписанное Петей, равно 15, таков: $1-5-9-2-7-6-8-3-4-10-(1)$. Приведенный пример — не единственный!