Олимпиада имени Леонарда Эйлера
2008-2009 учебный год, I тур регионального этапа

Задача №1.  Гриб называется плохим, если в нем не менее 10 червей. В лукошке 90 плохих и 10 хороших грибов. Могут ли все грибы стать хорошими после того, как некоторые черви переползут из плохих грибов в хорошие?
комментарий/решение(1)

---

Задача №2.  Точка $K$ — середина гипотенузы $AB$ прямоугольного равнобедренного треугольника $ABC$. Точки $L$ и $M$ выбраны на катетах $BC$ и $AC$ соответственно так, что $BL = CM$. Докажите, что треугольник $LMK$ — также прямоугольный равнобедренный.
комментарий/решение(2)

---

Задача №3.  По кругу выписаны числа 1, 2, 3, $\dots$, 10 в некотором порядке. Петя вычислил 10 сумм всех троек соседних чисел и написал на доске наименьшее из вычисленных чисел. Какое наибольшее число могло быть написано на доске?
комментарий/решение(1)

---

Задача №4.  Имеются чашечные весы и 100 монет, среди которых несколько (больше 0, но меньше 99) фальшивых монет. Все фальшивые монеты весят одинаково, все настоящие тоже весят одинаково, при этом фальшивая монета легче настоящей. Можно делать взвешивание на весах, заплатив перед взвешиванием одну из монет (неважно, фальшивую или настоящую). Докажите, что можно с гарантией обнаружить настоящую монету.
комментарий/решение(1)

---