1. Олимпиадалар тізімі
  2. Математика олимпиадалары
  3. Дистанциялық олимпиадалар
  4. Леонард Эйлер атындағы олимпиада
  5. Аймақтық кезең
  6. I олимпиада (2008-2009 оқу жылы)
  7. I тур

Эйлер атындағы олимпиада, 2008-2009 оқу жылы, аймақтық кезеңнің 1 туры


Есеп №1. Егер саңырауқұлақта кем дегенде 10 құрт болса, онда ондай саңырауқұлақтты жаман деп атаймыз. Далада 90 жаман және 10 жақсы саңырауқұлақ бар. Қандай да бір құрттар жаман саңырауқұлақтан жақсы саңырауқұлаққа орын ауыстырғаннан кейін, барлық саңырауқұлақтар жақсы бола ала ма?
комментарий/решение(1)
Есеп №2. Теңбүйірлі тікбұрышы $ABC$ үшбұрышының $AB$ гипотенузасының ортасы $K$ болсын. $BC$ және $AC$ катеттерінен $BL=CM$ болатындай сәйкесінше $L$ мен $M$ нүктелері алынған. $LMK$ үшбұрышы — теңбүйірлі тікбұрышы үшбұрыш екенін дәлелде.
комментарий/решение(2)
Есеп №3. Шеңбер бойымен қандай да бір ретпен 1, 2, 3, $\ldots$, 10 сандары жазылған. Петя барлық қатар келген 3 санның қосындысын есептеді де тақтада соның ең кішкентайын жазды. Тақтада жазылған санның үлкені қандай сан болуы мүмкін.
комментарий/решение(1)
Есеп №4. 100 тиын мен екі ыдысты таразы бар. Тиындар ішінде бірнеше жалған тиындар бар (0-ден үлкен, бірақ 99-дан кіші). Барлық жалған тиындар салмағы бірдей және нағыз тиындардың салмағы да бірдей, бірақ жалған тиын нағыз тиыннаң жеңілірек. Өлшер алдында бір тиынды беріп (ол жалған немесе нағыз тиын болуы мүмкін) таразыда бір өлшеу жүргізуге болады. Осындай операциямен бір нағыз тиынды табуға болатынын дәлелде.
комментарий/решение(1)