Эйлер атындағы олимпиада, 2008-2009 оқу жылы, аймақтық кезеңнің 1 туры

Шеңбер бойымен қандай да бір ретпен 1, 2, 3, $\ldots$, 10 сандары жазылған. Петя барлық қатар келген 3 санның қосындысын есептеді де тақтада соның ең кішкентайын жазды. Тақтада жазылған санның үлкені қандай сан болуы мүмкін.

Комментарий/решение

Комментарии от администратора Комментарии от администратора №1.     Ответ. 15.
Решение. Вначале докажем, что выписанное число не больше 15. Выделим число 10, а оставшиеся 9 чисел разобьем на три тройки соседних чисел. Сумма чисел в этих трех тройках равна $1+2+3+\dots+9 = 45$, поэтому хотя бы в одной из рассматриваемых троек сумма чисел не больше, чем $45:3 = 15$. Пример расстановки чисел, при котором число, выписанное Петей, равно 15, таков: $1-5-9-2-7-6-8-3-4-10-(1)$. Приведенный пример — не единственный!