Олимпиада имени Леонарда Эйлера2008-2009 учебный год, I тур регионального этапа

Точка $K$ — середина гипотенузы $AB$ прямоугольного равнобедренного треугольника $ABC$. Точки $L$ и $M$ выбраны на катетах $BC$ и $AC$ соответственно так, что $BL = CM$. Докажите, что треугольник $LMK$ — также прямоугольный равнобедренный.

Комментарий/решение

Комментарии от администратора Комментарии от администратора №1.     Решение. Медиана $CK$ треугольника $ABC$ является также высотой и биссектрисой, так как треугольник равнобедренный. Поэтому $\angle KBC = \angle KCB = \angle KCA = 45^\circ$. Отсюда $KC = KB$, и, значит, треугольники $KBL$ и $KCM$ равны по двум сторонам $(KC = KB, BL = CM)$ и углу между ними. Поэтому $KL = KM$, и из равенства $\angle BKL = \angle CKM$ следует $\angle LKM = \angle LKC + \angle CKM = \angle LKC + \angle BKL = \angle BKC = 90^\circ$. Значит, треугольник $LMK$ — прямоугольный равнобедренный.

Решение:

$CM=LB$

$CK=KB$

$\angle MCK=\angle KBL$ $\Rightarrow$

$\triangle CMK=\triangle LBK$ $\Rightarrow$

$MK=KL$

$\angle MKC=\angle LKB$ $\Rightarrow$

$\angle CKL=\angle MKA$

$\angle MKL=90^\circ$