Математикадан Эйлер олимпиадасы, 2013-2014 оқу жылы, Дистанциялық кезеңнің 3-ші туры

$B$ бұрышы 120 градус болатын $ABC$ үшбұрышының $AC$ қабырғасынан $AD=AB$ және $CE=CB$ болатындай $D$ және $E$ нүктелері алынған. $D$ нүктесінен $BE$ түзуіне $DF$ перпендикуляры түсірілген. $BD/DF$ қатынасын табыңдар.

Комментарий/решение

Комментарии от администратора Комментарии от администратора №1.     Ответ. 2.
Решение. Положим $\angle CAB = \alpha$, $\angle ACB = \beta$. Так как $AD = AB$ и $CE = CB$, имеем $\angle DBE = \angle DBA+ \angle EBC- \angle ABC = (180^\circ-\alpha)/2+(180^\circ-\beta)/2-120^\circ = 60^\circ-(\alpha+\beta)/2 = 30^\circ$. Таким образом, в прямоугольном треугольнике $BFD$ угол при вершине $B$ равен $30^\circ$, откуда $BD/DF = 2$.