Олимпиада имени Леонарда Эйлера2013-2014 учебный год, III тур дистанционного этапа

На стороне $AC$ треугольника $ABC$ с углом 120 градусов при вершине $B$ отмечены такие точки $D$ и $E$, что $AD = AB$ и $CE = CB$. Из точки $D$ опущен перпендикуляр $DF$ на прямую $BE$. Найдите отношение $BD/DF$.

Комментарий/решение

Комментарии от администратора Комментарии от администратора №1.     Ответ. 2.
Решение. Положим $\angle CAB = \alpha$, $\angle ACB = \beta$. Так как $AD = AB$ и $CE = CB$, имеем $\angle DBE = \angle DBA+ \angle EBC- \angle ABC = (180^\circ-\alpha)/2+(180^\circ-\beta)/2-120^\circ = 60^\circ-(\alpha+\beta)/2 = 30^\circ$. Таким образом, в прямоугольном треугольнике $BFD$ угол при вершине $B$ равен $30^\circ$, откуда $BD/DF = 2$.