Олимпиада имени Леонарда Эйлера2013-2014 учебный год, III тур дистанционного этапа

Коля, Вася и Петя пошли за покупками. Всего у них с собой 2200 рублей, и ни у кого нет монет мельче рубля. У Коли с собой в 18 раз меньше денег, чем у Васи. Докажите, что Петя сможет купить мороженое за 15 рублей.

Комментарий/решение

Комментарии от администратора Комментарии от администратора №1.     Решение. Пусть у Коли $n$ рублей. Тогда у Васи $18n$ рублей, а у Коли с Васей вместе — $19n$ рублей. Так как ни у кого нет монет мельче рубля, $n$ — целое число. Поделив с остатком 2200 на 19, получим $2200 = 115 \cdot 19+15$. Таким образом, у Коли с Васей вместе не больше $115 \cdot 19 = 2185$ рублей, поэтому у Пети — не меньше 15 рублей.