Математикадан Эйлер олимпиадасы, 2013-2014 оқу жылы, Дистанциялық кезеңнің 3-ші туры

Коля, Вася және Петя дүкенге барды. Олардың ешқайсысында 1 рубльден ұсақ тиын жоқ және олардың өзідерімен алған алған ақшаларының бәрі 2200 рубль. Коляда өзімен бірге Васяға қарағанда 18 есе аз ақша бар. Олай болса, Петя 15 рубль тұратын балмұздақ сатып ала алатынын дәлелдеңдер.

Комментарий/решение

Комментарии от администратора Комментарии от администратора №1.     Решение. Пусть у Коли $n$ рублей. Тогда у Васи $18n$ рублей, а у Коли с Васей вместе — $19n$ рублей. Так как ни у кого нет монет мельче рубля, $n$ — целое число. Поделив с остатком 2200 на 19, получим $2200 = 115 \cdot 19+15$. Таким образом, у Коли с Васей вместе не больше $115 \cdot 19 = 2185$ рублей, поэтому у Пети — не меньше 15 рублей.