Олимпиада имени Леонарда Эйлера2012-2013 учебный год, IV тур дистанционного этапа

Имеется три последовательных чётных числа. У первого из них нашли наибольший чётный собственный делитель, у второго — наибольший нечётный собственный делитель, у третьего — опять наибольший чётный собственный делитель. Может ли сумма трёх полученных делителей быть равна 2013? (Делитель натурального числа называется собственным, если он отличен от 1 и этого числа)

Комментарий/решение

Комментарии от администратора Комментарии от администратора №1.     Ответ. Да, может.
Решение. Вот пример: 1340, 1342 и 1344. У первого числа наибольший чётный делитель равен 670, у третьего — 672, у второго наибольший нечётный делитель равен 671. $670+671+672 = 2013$.
Замечание. Есть два естественных способа додуматься до этого примера. Можно попытаться так подобрать тройку, чтобы первое число в ней делилось на 4, т.е. имело вид $4n$. Тогда следующее число равно $4n+2$, а третье $4n+4$. Но тогда ясно, что делители, о которых идёт речь в задаче, равны $2n$, $2n+1$, $2n+2$. Остаётся решить уравнение $2n+(2n+1)+(2n+2) = 2013$. А можно просто записать число 2013 в виде $670+671+672 = 2013$ и удвоить каждое из слагаемых.