Математикадан Эйлер олимпиадасы, 2012-2013 оқу жылы, Дистанциялық кезеңнің 4-ші туры

Қатар келген үш жұп сан берілген. Бірінші санның ең үлкен өздік жұп бөлгішін, екіншісінің ең үлкен өздік тақ бөлгішін, ал үшіншісінің тағы да ең үлкен өздік жұп бөлгішін тапқан. Осы тапқан өздік бөлгіштердің қосындысы 2013-ке тең бола ала ма? (Санның бөлгіші өздік деп аталады, егер ол 1-ден және сол саннан өзгеше болса)

Комментарий/решение

Комментарии от администратора Комментарии от администратора №1.     Ответ. Да, может.
Решение. Вот пример: 1340, 1342 и 1344. У первого числа наибольший чётный делитель равен 670, у третьего — 672, у второго наибольший нечётный делитель равен 671. $670+671+672 = 2013$.
Замечание. Есть два естественных способа додуматься до этого примера. Можно попытаться так подобрать тройку, чтобы первое число в ней делилось на 4, т.е. имело вид $4n$. Тогда следующее число равно $4n+2$, а третье $4n+4$. Но тогда ясно, что делители, о которых идёт речь в задаче, равны $2n$, $2n+1$, $2n+2$. Остаётся решить уравнение $2n+(2n+1)+(2n+2) = 2013$. А можно просто записать число 2013 в виде $670+671+672 = 2013$ и удвоить каждое из слагаемых.