Олимпиада имени Леонарда Эйлера2012-2013 учебный год, IV тур дистанционного этапа

Из квадрата вырезали меньший квадрат, одна из сторон которого лежит на стороне исходного квадрата. Периметр полученного восьмиугольника на $40 \%$ больше периметра исходного квадрата. На сколько процентов его площадь меньше площади исходного квадрата?

Комментарий/решение

Комментарии от администратора Комментарии от администратора №1.     Ответ. На $64 \%$.
Решение. Пусть $ABCD$ — исходный квадрат со стороной 1 (и площадью 1), $KLMN$ — вырезанный квадрат со стороной $x$, причем $KL$ лежит на $AB$ (точка $K$ ближе к $A$, чем $L$). Тогда периметр восьмиугольника $AKNMLBCD$ превосходит периметр квадрата $ABCD$ на $KN+LM = 2x = 0,4 \cdot 4AB = 1,\!6AB$. То есть $x = 0,\!8AB$, и площадь вырезанного квадрата составляет 0,64 площади исходного.