Математикадан Эйлер олимпиадасы, 2012-2013 оқу жылы, Дистанциялық кезеңнің 4-ші туры

Үлкен квадраттан кіші квадрат кесіліп алынған (кіші квадраттың бір қабырғасы үлкен квадраттың қабырғасында жатыр). Пайда болған сегізбұрыштың периметірі алдыңғы үлкен квадраттың периметірінен $40 \%$-ке үлкен. Сегізбұрыштың ауданы алдыңғы үлкен квадраттың ауданынан неше процентке кіші?

Комментарий/решение

Комментарии от администратора Комментарии от администратора №1.     Ответ. На $64 \%$.
Решение. Пусть $ABCD$ — исходный квадрат со стороной 1 (и площадью 1), $KLMN$ — вырезанный квадрат со стороной $x$, причем $KL$ лежит на $AB$ (точка $K$ ближе к $A$, чем $L$). Тогда периметр восьмиугольника $AKNMLBCD$ превосходит периметр квадрата $ABCD$ на $KN+LM = 2x = 0,4 \cdot 4AB = 1,\!6AB$. То есть $x = 0,\!8AB$, и площадь вырезанного квадрата составляет 0,64 площади исходного.