Олимпиада имени Леонарда Эйлера2012-2013 учебный год, I тур дистанционного этапа

В треугольнике $ABC$ $AB = BC$. На лучах $CA$, $AB$ и $BC$ отмечены соответственно точки $D$, $E$ и $F$ так, что $AD = AC$, $BE = BA$, $CF = CB$. Найдите сумму углов $ADB$, $BEC$ и $CFA$.

Комментарий/решение

Комментарии от администратора Комментарии от администратора №1.     Ответ. $90^\circ$.
Решение. Положим $\angle BAC = \angle BCA = \alpha$. Треугольники $BAD$ и $FCA$ равны ($AD = CA$, $BA = BC = FC$, $\angle BAD = 180^\circ-\alpha = \angle FCA$). Поэтому $$\angle CFA+ \angle ADB = \angle ABD+ \angle ADB = \alpha \quad (1).$$ С другой стороны, $EB = BA = BC$, откуда $180^\circ-2\alpha = \angle ABC = 2 \angle BEC$ и $\angle BEC = 90^\circ-\alpha$. Складывая это равенство с равенством (1), получаем ответ.