Олимпиада имени Леонарда Эйлера
2011-2012 учебный год, I тур дистанционного этапа


Даны девять натуральных чисел, причём запись первого состоит только из единиц, второго — только из двоек, $\dots$, девятого — только из девяток. Может ли произведение каких-то двух из этих чисел делиться на произведение остальных?
посмотреть в олимпиаде

Комментарий/решение:

Комментарии от администратора Комментарии от администратора №1.     Ответ. Нет.
Решение. Предположим противное. Назовем два искомых числа выбранными. Одно из двух выбранных должно записываться пятерками, потому что никакое другое на 5 не делится. Другое должно быть четным. Но тогда наибольшая степень двойки, на которую делится произведение выбранных чисел, равна 3, а наименьшая степень двойки, на которую необходимо разделить, равна 4 (среди невыбранных чисел обязательно есть три четных, одно из которых делится на 4). Противоречие.