Математикадан Эйлер олимпиадасы, 2011-2012 оқу жылы, Дистанциялық кезеңнің 1-ші туры


Тоғыз натурал сан берілген. Сол сандар ішінде бірінші сан тек 1 деген цифрдан, екінші сан тек 2 деген цифрдан, $\ldots$, тоғызыншы сан тек 9 деген цифрдан құралған. Осы сандар ішінде қандай да бір екі санның көбейтіндісі қалған сандардын көбейтіндісіне бөліне ала ма?
посмотреть в олимпиаде

Комментарий/решение:

Комментарии от администратора Комментарии от администратора №1.     Ответ. Нет.
Решение. Предположим противное. Назовем два искомых числа выбранными. Одно из двух выбранных должно записываться пятерками, потому что никакое другое на 5 не делится. Другое должно быть четным. Но тогда наибольшая степень двойки, на которую делится произведение выбранных чисел, равна 3, а наименьшая степень двойки, на которую необходимо разделить, равна 4 (среди невыбранных чисел обязательно есть три четных, одно из которых делится на 4). Противоречие.