Олимпиада имени Леонарда Эйлера2011-2012 учебный год, I тур дистанционного этапа

Даны 5 различных натуральных чисел. Произведение двух наименьших из них больше 25, а произведение двух наибольших — меньше 75. Найдите все эти числа (укажите все возможные варианты и докажите, что других вариантов нет).

Комментарий/решение

Комментарии от администратора Комментарии от администратора №1.     Решение. Обозначим эти числа в порядке возрастания $a$, $b$, $c$, $d$, $e$. Если $b$ не больше 5, то $a$ не больше 4, тогда $ab$ не больше 20. Следовательно, $b$ не меньше 6. Аналогично, если $d$ не меньше 9, то $e$ не меньше 10, и $de$ не меньше 90. Следовательно, $d$ не больше 8. Но такое возможно только при $b = 6$, $c = 7$, $d = 8$. Теперь из условия $25/6 < a < 6$ получаем $a = 5$, а из условия $8 < e < 75/8$ находим $e= 9$.