Олимпиада имени Леонарда Эйлера
2010-2011 учебный год, IV тур дистанционного этапа


Петя раскладывает карточки с числами $1, 2, \dots, 9$ в клетки таблицы $3 \times 3$. Затем он отворачивается, а Витя меняет местами какие-то две карточки из клеток с общей стороной, и переворачивает все карточки лицом вниз. После этого Петя один раз показывает на одну или несколько карточек, а Витя сообщает сумму чисел на них. Сможет ли Петя действовать так, чтобы в результате гарантированно узнать, где какая карточка?
посмотреть в олимпиаде

Комментарий/решение:

Комментарии от администратора Комментарии от администратора №1.     Ответ. Сможет.
Решение. Петя раскладывает карточки как нарисовано на рисунке:

Потом Вася меняет местами две карточки, переворачивает их лицом вниз, а Петя указывает ему на 4 карточки, которые на рисунке отмечены серым (в них Петя сначала положил 1, 3, 7, 9). Изначально сумма на них была 20. Вася сообщает Пете, какая сумма на них теперь. Легко видеть, что для любых двух различных пар соседних карточек разности между числом на серой карточке и числом на белой карточке различны. Это относится и к тем парам, где повторяется по одной карточке. Значит, по названной сумме Петя легко устанавливает, какие карточки менялись.