Математикадан Эйлер олимпиадасы, 2010-2011 оқу жылы, Дистанциялық кезеңнің 4-ші туры


Петя $3 \times 3$ таблицасына $1$, $2$, $\ldots$, $9$ сандары жазылған карточкаларды қойып шығады. Ол теріс қарағаннан кейін, Витя, қабырғалары ортақ екі көршілес картаны орнымен ауыстырады да, барлық карталарды теріс қаратады. Содан кейін Петя бір рет бір немесе бірнеше картаға көрсетеді, ал Витя оған сол карталардың сандарының қосындысын айтады. Петя карталардың орналасуын кез келген жағдайда білетіндей стратегиясы бар ма?
посмотреть в олимпиаде

Комментарий/решение:

Комментарии от администратора Комментарии от администратора №1.     Ответ. Сможет.
Решение. Петя раскладывает карточки как нарисовано на рисунке:

Потом Вася меняет местами две карточки, переворачивает их лицом вниз, а Петя указывает ему на 4 карточки, которые на рисунке отмечены серым (в них Петя сначала положил 1, 3, 7, 9). Изначально сумма на них была 20. Вася сообщает Пете, какая сумма на них теперь. Легко видеть, что для любых двух различных пар соседних карточек разности между числом на серой карточке и числом на белой карточке различны. Это относится и к тем парам, где повторяется по одной карточке. Значит, по названной сумме Петя легко устанавливает, какие карточки менялись.