Олимпиада имени Леонарда Эйлера2010-2011 учебный год, III тур дистанционного этапа

На стороне $BC$ треугольника $ABC$ отмечена точка $E$, а на биссектрисе $BD$ — точка $F$ таким образом, что $EF \parallel AC$ и $AF = AD$. Докажите, что $AB = BE$.

Комментарий/решение

Комментарии от администратора Комментарии от администратора №1.     Решение. Из условия задачи следует, что $\angle EFD = \angle ADF = \angle AFD$ (первое равенство верно, так как $EF \parallel AC$, второе — поскольку $AF = AD$). Поэтому равны и углы $AFB$ и $EFB$, смежные с углами $AFD$ и $EFD$. Кроме того, по условию $\angle ABF = \angle EBF$. Следовательно, треугольники $BFE$ и $BFA$ равны по общей стороне $BF$ и двум прилежащим к ней углам. Поэтому равны и их соответственные стороны $BE$ и $AB$.