Математикадан Эйлер олимпиадасы, 2010-2011 оқу жылы, Дистанциялық кезеңнің 3-ші туры

$ABC$ үшбұрышның $BC$ қабырғасынан $E$ нүктесі алынған. Ал $BD$ биссектрисасында $EF \parallel AC$ және $AF=AD$ болатындай $F$ нүктесі алынған. $AB=BE$ болатынын дәлелдеңіз.

Комментарий/решение

Комментарии от администратора Комментарии от администратора №1.     Решение. Из условия задачи следует, что $\angle EFD = \angle ADF = \angle AFD$ (первое равенство верно, так как $EF \parallel AC$, второе — поскольку $AF = AD$). Поэтому равны и углы $AFB$ и $EFB$, смежные с углами $AFD$ и $EFD$. Кроме того, по условию $\angle ABF = \angle EBF$. Следовательно, треугольники $BFE$ и $BFA$ равны по общей стороне $BF$ и двум прилежащим к ней углам. Поэтому равны и их соответственные стороны $BE$ и $AB$.