Олимпиада имени Леонарда Эйлера
2010-2011 учебный год, III тур дистанционного этапа

Задача №1.  Найдите все пятизначные числа, у которых вторая цифра впятеро больше первой, а произведение всех пяти цифр равно 1000.
комментарий/решение(1)

---

Задача №2.  Числа $a$, $b$ и $c$ таковы, что $a > b$ и $(a-b)(b-c)(c-a) > 0$. Что больше: $a$ или $c$?
комментарий/решение(1)

---

Задача №3.  Двое по очереди проводят на плоскости прямые, причем дважды одну прямую проводить нельзя. Выигрывает тот, после хода которого число кусков, на которые плоскость разбита проведенными прямыми, впервые разделится на 5. Кто выиграет при правильной игре: тот, кто ходит первым, или его партнер, и как ему для этого надо играть?
комментарий/решение(2)

---

Задача №4.  На стороне $BC$ треугольника $ABC$ отмечена точка $E$, а на биссектрисе $BD$ — точка $F$ таким образом, что $EF \parallel AC$ и $AF = AD$. Докажите, что $AB = BE$.
комментарий/решение(1)

---

Задача №5.  В футбольном турнире, где каждая команда по одному разу сыграла с каждой, участвовали команды А, Б, В, Г, Д и Е. За победу команда получала 3 очка, за ничью — 1 очко, за поражение — 0. В итоге оказалось, что команды А, Б, В, Г и Д набрали по 7 очков. Какое наибольшее количество очков могла набрать команда Е?
комментарий/решение(1)

---