Математикадан Эйлер олимпиадасы, 2010-2011 оқу жылы, Дистанциялық кезеңнің 3-ші туры

Есеп №1. Құрамындағы барлық сандардың көбейтіндісі 1000 болатын және екінші сан біріншісінен 5 есе көп болатын барлық бес таңбалы сандарды табыңыз.
комментарий/решение(1)

Есеп №2.

$a > b$ және

$(a-b)(b-c)(c-a) > 0$ орындалатын

$a$ ,

$b$ ,

$c$ сандары берілген.

$a$ үлкен бе, әлде

$c$ үлкен ба?
комментарий/решение(1)

Есеп №3. Екі ойыншы кезекпен жазықтықта түзулер жүргізеді, бір түзуді екі рет жүргізуге болмайды. Түзу жүргізгеннен кейін пайда болған бөліктер саны бірінші рет 5-ке бөлінсе, сол түзуді жүргізген ойыншы жеңеді. Екеуі де дұрыс әдіспен ойнаған жағдайда кім жеңеді, жүрісті бірінші бастаған ойыншы ма, әлде оның қарсыласы ма, ол жеңу үшін қалай жүру тиіс?
комментарий/решение(2)

Есеп №4.

$ABC$ үшбұрышның

$BC$ қабырғасынан

$E$ нүктесі алынған. Ал

$BD$ биссектрисасында

$EF \parallel AC$ және

$AF=AD$ болатындай

$F$ нүктесі алынған.

$AB=BE$ болатынын дәлелдеңіз.
комментарий/решение(1)

Есеп №5. Әрбір команда бір-бірімен бір рет қана ойнаған футбол жарысына

$A$ ,

$B$ ,

$C$ ,

$D$ ,

$E$ және

$F$ командалары қатысты. Жеңіс үшін командаға 3 ұпай, тең ойында 1 ұпай, ал жеңілген жағдайда 0 ұпай беріледі. Нәтижесінде

$A$ ,

$B$ ,

$C$ ,

$D$ ,

$E$ командалары 7 ұпай алды.

$F$ командасы ең үлкен қанша ұпай жинау мүмкін еді.
комментарий/решение(1)