Олимпиада имени Леонарда Эйлера2010-2011 учебный год, II тур дистанционного этапа

В треугольнике $ABC$ отметили произвольную точку $D$ на медиане $BM$. Затем через $D$ провели прямую, параллельную $AB$, а через $C$ — прямую, параллельную $BM$. Эти прямые пересеклись в точке $E$. Докажите, что $BE = AD$.

Комментарий/решение

Комментарии от администратора Комментарии от администратора №1.     Решение. Проведём через точку $A$ прямую, параллельную $BM$, и пусть $F$ — точка её пересечения с прямой $DE$. По теореме Фалеса из равенства $AM = MC$ следует равенство $FD = DE$. Кроме того, по построению $ABDF$ — параллелограмм, откуда $AB = FD$. Отсюда $AB = DE$, и $ABED$ — параллелограмм, откуда и следует, что $BE = AD$.