Математикадан Эйлер олимпиадасы, 2010-2011 оқу жылы, Дистанциялық кезеңнің 2-ші туры

$ABC$ үшбұрышында $BM$ медианасынан кез-келген $D$ нүктесі алынды. $D$ нүктесінен $AB$-ға параллель, ал $C$ арқылы $BM$-ге параллель түзу жүргізілді. Ол екі түзу $E$ нүктесінде қиылысты. $BE=AD$ екенін дәлелдеңіздер.

Комментарий/решение

Комментарии от администратора Комментарии от администратора №1.     Решение. Проведём через точку $A$ прямую, параллельную $BM$, и пусть $F$ — точка её пересечения с прямой $DE$. По теореме Фалеса из равенства $AM = MC$ следует равенство $FD = DE$. Кроме того, по построению $ABDF$ — параллелограмм, откуда $AB = FD$. Отсюда $AB = DE$, и $ABED$ — параллелограмм, откуда и следует, что $BE = AD$.