Олимпиада имени Леонарда Эйлера
2010-2011 учебный год, II тур дистанционного этапа

Задача №1.  Алиса и Белый Кролик в полдень вместе вышли из домика Кролика и пошли на прием к Герцогине. Пройдя полпути, Кролик вспомнил, что забыл перчатки и веер, и побежал за ними домой со скоростью в два раза большей, чем он шел вместе с Алисой. Схватив перчатки и веер, он побежал к Герцогине (с той же скоростью, что бежал домой). В результате Алиса (которая всё время шла с одной и той же скоростью) пришла к Герцогине вовремя, а Кролик опоздал на 10 минут. На какое время был назначен прием у Герцогини?
комментарий/решение(1)

---

Задача №2.  Внутри угла $AOB$, равного $120^\circ$, проведены лучи $OC$ и $OD$ так, что каждый из них является биссектрисой какого-то из углов, получившихся на чертеже. Найдите величину угла $AOC$. Укажите все возможные варианты.
комментарий/решение(1)

---

Задача №3.  Найдите все натуральные числа, десятичная запись которых оканчивается на два нуля, имеющие ровно 12 натуральных делителей.
комментарий/решение(1)

---

Задача №4.  В треугольнике $ABC$ отметили произвольную точку $D$ на медиане $BM$. Затем через $D$ провели прямую, параллельную $AB$, а через $C$ — прямую, параллельную $BM$. Эти прямые пересеклись в точке $E$. Докажите, что $BE = AD$.
комментарий/решение(1)

---

Задача №5.  На бесконечной шашечной доске на двух соседних по диагонали клетках стоят две черные шашки. Можно ли добавить на доску несколько черных шашек и одну белую шашку так, чтобы белая шашка могла одним ходом съесть все черные шашки (включая и две стоявшие изначально)? Напомним, что шашка ест соседнюю по диагонали шашку, перепрыгивая через неё на следующее за ней по диагонали поле (которое должно быть свободно); одним ходом шашка может съесть несколько шашек подряд, причём съеденные шашки не снимаются с доски, пока ход не завершён.
комментарий/решение(1)

---