Олимпиада имени Леонарда Эйлера2010-2011 учебный год, I тур дистанционного этапа

Алина обвела на шахматной доске $(8 \times 8)$ 22 различных (но, возможно, перекрывающихся) трёхклеточных прямоугольничка, а Полина — 22 неперекрывающихся двуклеточных прямоугольничка (но, возможно, перекрывающихся с прямоугольничками Алины). Докажите что на доску можно положить крестик из 5 клеток, полностью накрывающий хотя бы две обведённые фигурки. (Крестик может выходить за края доски.)

Комментарий/решение

Комментарии от администратора Комментарии от администратора №1.     >Решение. Заметим, что крест накрывает прямоугольник $1 \times 3$, если их центральные клетки совпадают, и накрывает прямоугольник $1 \times 2$, если центральная клетка креста лежит в прямоугольнике. Отметим центральные клетки длинных прямоугольников и все клетки коротких; всего получилось 66 отмеченных клеток, значит, какая-то отмечена дважды. Если сделать её центральной клеткой креста, он накроет два прямоугольника.