Математикадан Эйлер олимпиадасы, 2009-2010 оқу жылы, Дистанциялық кезеңнің 2-ші туры

$ABC$ үшбұрышында $BM$ медианасы $AB$ қабырғасынан екі есе кіші және олардың арасындағы бұрыш $40$ градусқа тең. $ABC$ бұрышын табыңыз.

Комментарий/решение

Комментарии от администратора Комментарии от администратора №1.     Ответ. $110^\circ$.
Решение. Продлим медиану $BM$ за точку $M$ на ее длину и получим точку $D$. Так как $AB = 2BM$, то $AB = BD$, то есть треугольник $ABD$ — равнобедренный. Следовательно, углы $BAD$ и $BDA$ равны по $(180^\circ-40^\circ):2 = 70^\circ$ каждый. $ABCD$ — параллелограмм, так как его диагонали точкой пересечения делятся пополам. Значит, угол $CBD$, как и $ADB$, равен $70^\circ$, а угол $ABC$, равный сумме $CBD$ и $ABD$, составляет $110^\circ$.