Олимпиада имени Леонарда Эйлера
2009-2010 учебный год, II тур дистанционного этапа

Задача №1.  Произведение двух натуральных чисел, каждое из которых не делится нацело на 10, равно 1000. Найдите их сумму.
комментарий/решение(1)

---

Задача №2.  Школьный чемпионат по настольному теннису проводили по олимпийской системе. Победитель выиграл 6 партий. Сколько участников чемпионата выиграло партий больше, чем проиграло? (В первом туре чемпионата, проводящегося по олимпийской системе, участников разбивают на пары. Те, кто проиграл первую игру, выбывают из чемпионата, а те, кто выиграл в первом туре, разбиваются на пары и проводят второй тур. Проигравшие снова выбывают, победители разбиваются на пары для третьего тура и т.д., пока не останется один чемпион. Известно, что в каждом туре нашего чемпионата для каждого участника нашлась пара.)
комментарий/решение(1)

---

Задача №3.  В треугольнике $ABC$ медиана $BM$ в два раза меньше стороны $AB$ и образует с ней угол в 40 градусов. Найдите угол $ABC$.
комментарий/решение(1)

---

Задача №4.  Представьте числовое выражение $2 \cdot 2009^2 + 2\cdot 2010^2$ в виде суммы квадратов двух натуральных чисел.
комментарий/решение(1)

---

Задача №5.  Том Сойер взялся покрасить очень длинный забор, соблюдая условие: любые две доски, между которыми ровно две, ровно три или ровно пять досок, должны быть покрашены в разные цвета. Каким наименьшим количеством различных красок он сможет обойтись?
комментарий/решение(1)

---