Математикадан Эйлер олимпиадасы, 2009-2010 оқу жылы, Дистанциялық кезеңнің 2-ші туры

Есеп №1. Әрқайсысы 10-ға бөлінбейтін екі натурал санның көбейтінтдісі 1000-ға тең. Олардың қосындысын табыңыз.
комментарий/решение(1)

Есеп №2. Үстел теннисінен өткен жарыс олимпиялық жүйеде өтті. Жеңімпаз 6 ойын жеңді. Жарыста қатысқандардан жеңген ойындар саны жеңілген ойындар санынан көп болатын қанша оқушы бар. (Олимпиалық кезеңнің әр айналымында қатысушылар жұптықтарға бөлінеді. Келесі айналымға тек қана сол жұптықтарда жеңіске ие болған адамдар ғана шығады. Айналым бір адам қалғанша дейін жүре береді. Әр айналымда әр оқушыға өзінің жұбы табылғаны белгілі.)
комментарий/решение(1)

Есеп №3.

$ABC$ үшбұрышында

$BM$ медианасы

$AB$ қабырғасынан екі есе кіші және олардың арасындағы бұрыш

$40$ градусқа тең.

$ABC$ бұрышын табыңыз.
комментарий/решение(1)

Есеп №4.

$2 \cdot 2009^2 + 2\cdot2010^2$ санын екі натурал санның квадраттарының қосындысы ретінде жаз.
комментарий/решение(1)

Есеп №5. Том Сойер өте ұзын қоршаманы екі шарт сақталатындай бояғысы келіп тұр: аралары екі, үш немесе бес болатын тақталар әртүрлі түспен боялу керек. Осы мүмкін болу үшін кемінде қанша түс керек?
комментарий/решение(1)